Temat A1. Reprezentacja wartości logicznych, liczb i znaków w komputerze

Wszystkie treści na stronie ir.migra.pl są chronione prawami autorskimi. Więcej informacji znajdziesz tutaj.

Uwaga: Zapoznaj się wcześniej z tematem A1 z podręcznika „Teraz bajty. Informatyka dla szkół ponadpodstawowych. Zakres podstawowy. Klasa III”. Wykonaj zawarte w nim ćwiczenia i zadania.

Zapisy podstawy programowej realizowane w temacie:

I. Rozumienie, analizowanie i rozwiązywanie problemów.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

5) przedstawia sposoby reprezentowania w komputerze znaków, liczb, wartości logicznych, obrazów, dźwięków, animacji;

Spis treści

1. Reprezentacja wartości logicznych
2. Reprezentacja danych numerycznych w komputerze
   1. Reprezentacja binarna liczb ujemnych
   2. Reprezentacja stałopozycyjna liczb
   3. Reprezentacja zmiennopozycyjna liczb
3. Reprezentacja znaków w komputerze

1. Reprezentacja wartości logicznych

Wartości logiczne FAŁSZ i PRAWDA w komputerze są reprezentowane przez zero i jeden. Na poziomie sprzętowym wartości 0 i 1 odpowiadają różnym poziomom fizycznym, zwykle napięcia elektrycznego, np. 0 – napięcie niskie, 1 – napięcie wysokie.

2. Reprezentacja danych numerycznych w komputerze

2.1. Reprezentacja binarna liczb ujemnych

W temacie A1 („Teraz bajty. Informatyka dla szkół ponadpodstawowych. Zakres podstawowy. Klasa III”) wyjaśniliśmy, w jaki sposób zapisać dowolną liczbę naturalną w postaci dwójkowej. Zapisanie w postaci dwójkowej liczby całkowitej ujemnej jest znacznie trudniejsze. Najbardziej oczywisty z matematycznego punktu widzenia sposób:

–1476₁₀ = –10111000100₂

jest, niestety, nieprzydatny, ponieważ w zapisie binarnym, stosowanym w komputerach, możemy posługiwać się tylko wartościami bitowymi: 0 i 1.

Jednym z możliwych rozwiązań tego problemu jest przeznaczenie jednego bitu liczby, np. najstarszego, na zapis znaku. Przyjmując, że na zapisanie liczby przeznaczamy 8 bitów, otrzymujemy np.:

30 = 00011110₂ (bit nr 7 ustawiony na 0 oznacza liczbę dodatnią),

–30 = 10011110₂ (bit nr 7 ustawiony na 1 oznacza liczbę ujemną).

Ten sposób reprezentacji liczb ujemnych nie jest jednak najlepszy, choćby dlatego, że stwarza dwie możliwości zapisania liczby 0:

00000000₂ = 0

10000000₂ = „–0”.

Sposób zapisu liczb ujemnych stosowany obecnie w komputerach wykorzystuje kod uzupełnieniowy do dwóch. Wartość a’ liczby a w kodzie uzupełnieniowym do dwóch wyraża się wzorem:

gdzie:

n – liczba bitów przeznaczonych do zapisania liczby,

a – liczba do zapisania w kodzie uzupełnieniowym (–2n – 1 ≤ a < 2n – 1),

a’ – wartość liczby a w kodzie uzupełnieniowym do dwóch.

Liczbę a’, uzyskaną za pomocą wzoru [1], rozwijamy do postaci dwójkowej.

Przykład 1. Wyznaczanie rozwinięcia dwójkowego liczby ujemnej w kodzie uzupełnieniowym do dwóch

a = –30, n = 8 (1 bajt)

a’ = 2⁸ + (–30) = 256 – 30 = 226 = 11100010₂

Jak wynika z przykładu, liczbę dwójkową 11100010₂ można interpretować jako 226 lub też jako –30. Wydaje się to sprzeczne z logiką, ale logiczna struktura procesora sprawia, że taki zapis jest prawidłowy. Aby się o tym przekonać, wykonajmy działania w systemie binarnym, na przykład:

226 + 26 = 11100010₂ + 11010₂ = 11111100₂ = 252.

Pamiętając, że zapis liczby 226 jest taki sam, jak liczby –30, obliczamy:

–30 + 26 = –4.

Korzystając ze wzoru [1] i przyjmując n = 8, otrzymujemy:

2⁸ + (–4) = 256 – 4 = 252 = 11111100₂.

Dzięki takiemu sposobowi zapisu liczb całkowitych procesor nie musi mieć dwóch osobnych układów do operacji na liczbach nieujemnych i ujemnych, co upraszcza jego budowę. Warto przy tym zauważyć, że w kodzie uzupełnieniowym do dwóch znakowi liczby odpowiada najstarszy bit. Jeżeli jest on równy 1, to liczba jest ujemna, a jeżeli jest równy 0, to liczba jest nieujemna.

Ćwiczenie 1. Wyznaczamy rozwinięcia dwójkowe liczby w kodzie uzupełnieniowym do dwóch

Wyznacz rozwinięcia dwójkowe liczb: –100 (n = 8), –256 (n = 16), –1000 (n = 16) w kodzie uzupełnieniowym do dwóch.

2.2. Reprezentacja stałopozycyjna liczb

Wzór podany w temacie A1 („Teraz bajty. Informatyka dla szkół ponadpodstawowych. Zakres podstawowy. Klasa III”, str. 12):

(a_n–1a_n–2…a₁a₀)_p = a_n–1 · p ^n–1 + a_n–2 · p ^n–2 + … + a₁ · p¹ + a₀ · p⁰,

gdzie:

a_n–1, a_n–2, …, a₁, a₀ – kolejne cyfry danej liczby,

p – podstawa systemu liczbowego,

pokazuje, w jaki sposób dokonać rozwinięcia liczby całkowitej zapisanej w systemie pozycyjnym o dowolnej podstawie. Wzór możemy zmodyfikować, tak aby można było w systemie pozycyjnym o dowolnej podstawie dokonać również rozwinięcia zapisanej w tym systemie liczby wymiernej.

Liczba a, mająca n cyfr przed przecinkiem i m cyfr po przecinku:

w systemie pozycyjnym o podstawie p ma rozwinięcie:

(a_n-1a_n-2…a₁a₀,a_-1a_-2…a_-(m-1)a_-m)_p = a_n-1  · p^n-1 + a_n-2  · p^n-2 + … + a₁  · p¹ + a₀  · p⁰ + a_-1  · p^-1+ a_-2  · p^-2 + …+ a-_(m-1)  · p^-(m-1)+ a_-m  · p^-m           [2]

gdzie:

a_n–1, a_n–2, …, a₁, a₀ – kolejne cyfry liczby przed przecinkiem,

a_–1, a_–2, …, a_–(m–1), a_–m – kolejne cyfry liczby po przecinku,

p – podstawa systemu liczbowego.

Przykład 2. Zapis liczby 6,6875 w systemie dwójkowym

Zamiany na system dwójkowy dokonuje się, porównując liczbę z kolejnymi malejącymi potęgami dwójki. Zaczynamy od najwyższej potęgi dwójki, nie większej od danej liczby. Jeżeli liczba jest większa lub równa danej potędze, to potęga jest odejmowana od liczby i jako cyfra dwójkowa zapisywana jest jedynka. W przeciwnym razie nie wykonuje się odejmowania, a jako cyfrę dwójkową zapisuje się zero.

Porównywanie wykonujemy tak długo, aż w wyniku odejmowania otrzymamy zero lub osiągniemy żądany poziom dokładności zapisu. Przecinek w zapisie dwójkowym należy umieścić po cyfrze dwójkowej uzyskanej przy porównaniu z liczbą 1 (2⁰).

Wynik porównania       Wynik odejmowania     Cyfra binarna

6,6875 > 4 (2²)                              2,6875                              1

2,6875 > 2 (2¹)                              0,6875                              1

0,6875 < 1(2⁰)                               0,6875                              0

0,6875 > 0,5 (2^-1)                          0,1875                              1

0,1875 < 0,25 (2^-2)                        0,1875                              0

0,1875 > 0,125 (2^-3)                      0,0625                              1

0,0625 = 0,0625 (2^-4)                    0                                       1

Otrzymujemy:

6,6875 = 4 + 2 + 0,5 + 0,125 + 0,0625 = 2² + 2¹ + 2^–1 + 2^–3 + 2^–4 = = 1 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ + 1 · 2^{– 1} + 0 · 2^–2 + 1 · 2^–3 + 1 · 2^–4 = 110,1011₂

Przykład 3. Nieskończone rozwinięcie dwójkowe

Liczba 0,4 ma nieskończone rozwinięcie dwójkowe 0,(0110)₂ = 0,011001100110…₂

Ćwiczenie 2. Obliczamy rozwinięcie dwójkowe liczby dziesiętnej

Oblicz rozwinięcia dwójkowe liczb: 0,25; 4,33; 8,0001.

W praktyce zapis stałopozycyjny jest wykorzystywany stosunkowo rzadko. Pozwala on wprawdzie na zapisanie w systemie dwójkowym dowolnej liczby rzeczywistej, ale w przypadku liczb bardzo dużych lub ułamków bliskich zeru taki zapis wymaga wielu bitów. Dlatego większość komputerów korzysta ze zmiennopozycyjnej reprezentacji liczb.

2.3. Reprezentacja zmiennopozycyjna liczb

W wielu obliczeniach naukowych występują bardzo duże liczby, np.:

30! = 265252859812191058636308480000000

W zapisie naukowym podaną liczbę można zapisać w następujący sposób:

30! = 2,65253E32, tzn. 2,65253 · 10³²

W podobny sposób zapisujemy liczby bliskie zeru, np.: stałą grawitacyjną

G_c = 0,0000000000667259 = 6,67259E−11, czyli 6,67259 · 10⁻¹¹

Dowolną liczbę rzeczywistą a można zapisać jako:

a = m · 10^c                                          [3]

gdzie:

m – mantysa liczby,

c – cecha liczby, c jest liczbą całkowitą.

Uwaga:

Cecha i mantysa liczby występujące we wzorze [3] nie są odpowiednikami cechy i mantysy znanych z lekcji matematyki. W omawianym przypadku mantysa m jest liczbą z przedziału (–10; 10), a cecha c jest liczbą całkowitą (jak w postaci wykładniczej).

Ćwiczenie 3. Zapisujemy liczby w sposób znormalizowany

Zapisz w sposób znormalizowany następujące liczby:

π, 10242, 1 000 000 000.

Im więcej cyfr w mantysie, tym dokładniej zapisana jest wartość liczby. Cyfry mantysy nazywamy cyframi znaczącymi.

W zapisie dwójkowym tę samą liczbę a można zapisać jako:

a = m’ · 2^c’                                          [4]

gdzie:

c’ jest natomiast liczbą całkowitą.

Aby liczbę a zapisać w postaci bitowej, wystarczy przekształcić m i c do postaci binarnej i zapisać przy użyciu odpowiedniej liczby bitów. Dokładny sposób zapisu określa standard IEEE 754.

Standard IEEE 754 definiuje dwa formaty:

• pojedynczej precyzji: 1 bit na znak liczby, 8 bitów na cechę liczby powiększoną o 127, 23 bity na mantysę liczby, co pozwala na zapisanie liczb z przedziału ok. ⟨-1038; 1038⟩ z dokładnością do 8 znaczących cyfr dziesiętnych:

• podwójnej precyzji: 1 bit na znak liczby, 11 bitów na cechę liczby powiększoną o 1023, 52 bity na mantysę liczby, co pozwala na zapisanie liczb z przedziału ok. ⟨-1038; 1038⟩ z dokładnością do 16 znaczących cyfr dziesiętnych:

Taki sposób zapisu liczb rzeczywistych nazywamy reprezentacją zmiennopozycyjną lub zapisem zmiennoprzecinkowym.

3. Reprezentacja znaków w komputerze

W postaci dwójkowej przedstawiamy nie tylko liczby, ale również inne znaki, np. litery, znaki interpunkcyjne, znaki kontrolne (nową linię, spację). Najbardziej rozpowszechnionym sposobem kodowania liter i innych znaków alfanumerycznych jest kod ASCII (z ang. American Standard Code for Information Interchange). Każda litera czy symbol posiada w tym kodzie swój odpowiednik liczbowy z zakresu <0, 255>, (czyli zajmuje jeden bajt pamięci), np. spacja ma kod 32, znak „=” ma kod 61, znak „@” – kod 64, litera „a” – kod 97.

W programie Tablica znaków systemu Windows lub w oknie wstawiania symboli (opcja Symbol na karcie Wstawianie) edytora Microsoft Word można odnaleźć kod konkretnego znaku. W edytorze tekstu niektórym znakom przypisano klawisze skrótu. Każdy znak można też wpisać, trzymając wciśnięty lewy klawisz Alt i wpisując na klawiaturze numerycznej kod ASCII (dziesiętny) tego znaku, poprzedzony zerem.

Ćwiczenie 4. Stosujemy kod ASCII do wstawiania znaków z klawiatury

Korzystając z tabeli kodów ASCII dostępnej w Internecie, programu Tablica znaków lub okna wstawiania symboli edytora tekstu, odszukaj kod znaku „§”. Wprowadź go, korzystając wyłącznie z klawiatury komputera.

Opracowany w Stanach Zjednoczonych kod ASCII nie uwzględniał w chwili swojego powstania znaków charakterystycznych dla języków innych niż angielski, np. polskich liter: ą, ę, ć, ó, ł, ń, ś, ż, ź. Z chwilą pojawienia się w Polsce popularnych komputerów próbowano kilkukrotnie rozwiązać ten problem, kodując polskie znaki diakrytyczne rzadziej wykorzystywanymi kodami. Przez pewien czas w Polsce używano sześciu różnych sposobów kodowania. Ostatecznie do dzisiaj przetrwały dwa z nich: międzynarodowy ISO-8859-2 oraz wykorzystywana w systemie Windows tzw. strona kodowa 1250 (możemy więc mówić o standardzie Windows-1250).

Ćwiczenie 5. Sprawdzamy kody ASCII polskich znaków

Korzystając z Internetu, sprawdź kody ASCII polskich znaków w standardach Windows-1250 i ISO-8859-2.

Następcą kodu ASCII jest standard Unicode. W standardzie tym jeden znak zajmuje dwa bajty, co pozwala na zapisanie 65536 różnych znaków. Pierwszych 256 znaków jest takich samych, jak w standardzie ASCII, pozostałe przeznaczono dla alfabetów narodowych, w tym m.in. języka arabskiego, hebrajskiego, chińskiego i japońskiego, a także różnego rodzaju znaków specjalnych (w tym emotikonów zwanych też emoji).

Ćwiczenie 6. Sprawdzamy kody Unicode polskich znaków

Korzystając z Internetu, sprawdź kody Unicode polskich znaków.

Ćwiczenie 7. Sprawdzamy kody Unicode emoji

Korzystając z Internetu, sprawdź kody Unicode znaków: , , .

Zadania

1. Zapisz w standardzie IEEE 754 liczbę 12,75.
2. Przedstaw algorytm zamiany ułamka dziesiętnego na liczbę dwójkową. Według tego algorytmu rozwiń dwójkowo liczbę 0,65.
3. Napisz programy wypisujące szesnastkowo kody ASCII znaków tekstu wprowadzonego przez użytkownika.
Dla zainteresowanych
4. Napisz program wyznaczający postać binarną podanej liczby ze znakiem, przy wykorzystaniu podanej liczby bitów.